معادلات و شیوه های نوشتن آن ها

اگر دانشجویی در عصر دیوفانتوس با عبارتی که در شکل متداول امروزی با نشان داده می شود مواجه می شد، کاملاً گیج می گردید؛ این سبک نمادی نوین، اختراعی نسبتاً جدید است.
در مورد «زمان دیوفانتوس» توافق همگانی وجود ندارد؛ برخی از اهل نظر اعتقاد دارند که وی در سده ی سوم پس از میلاد می زیسته، در حالی که برخی زمان را به پیش تر در سده ی اول می برند. با این حال، می دانیم که وی ریاضیدانی یونانی بوده که به صورت «مقیم» در دانشگاه اسکندریه در مصر کار می کرده و این را نیز می دانیم که وی استفاده از نمادهای جبری را آغاز می کرده و این را نیز می دانیم که وی استفاده از نمادهای جبری را آغازی داده که نهایتاً جای خود را به نوشتن جبر به سبکی لغوی به نام «جبر لفظی» داده است.
برای توصیف جبر لفظی، مثالی را از ریاضیدانی عرب از دوره ای بعد برمی گزینیم: خوارزمی، که کتاب جبر (ح 825 م) او هم به جبر اروپایی نام داده و هم به شدت آن را تحت تأثیر قرار داده (جای تعجب است که حتی خوارزمی از کلمات به جای اعداد استفاده کرد زیرا کتاب وی لیبرالگوریسمی [در عنوان لاتینی آن] بود که ارقام هندی-عربی را وارد اروپا کرده) مسئله ای را که در نمادگذاری نوین به صورت
داده می شود، چنین بیان و حل می کند:
مقدار یک مربع چیست که وقتی بیست و یک درهم بر آن افزوده شود، با معادل ده جذر آن مربع برابر می شود؟ جواب: تعداد جذرها را نصف کن، این نصف، پنج است. آن را در خودش ضرب کن؛ حاصل ضرب، بیست و پنج است. از این، بیست و یک را که با مربع ارتباط دارند تفریق کن؛ باقی مانده، چهار است. جذر آن را استخراج کن؛ این جذر، دو است. این را از نصف جذرها که پنج است تفریق کن؛ باقی مانده سه است. این جذر مربع است که آن را می خواستی و ‌آن مربع، نه است. یا این که می توانی جذر را به نصف جذرها اضافه کنی؛ مجموع، هفت است. این جذر مربعی است که آن را می خواستی؛ و خود مربع، چهل و نه است.
البته، جواب او معادل نوشته ی امروزی زیر است:
اگر جبر خوارزمی بی روح به نظر می رسد، شاید ارزش گفتن داشته باشد که ایده ها اغلب از نمادها پیش تر می آیند؛ علامت گرایی به حکم ضرورت اختراع شد.
«جبر تلخیصی»-استفاده از کلمات اختصاری-به وسیله ی دیوفانتوس مطرح شد، و مدتی بعد در هند، برهمه گوپته (ح 628 م) اختصارات خاص خود را ابداع کرد. متأسفانه دیگر نویسندگان اغلب ترجیح دادند که پیشرفت های موجود در نمادگذاری را نادیده بگیرند (یا از آن ها آگاه نبودند)؛ در نتیجه خوارزمی از سبک لفظی در مثال پیشین استفاده کرد.
نسخه ی اصلی اثر سیزده جلدی دیوفانتوس، اریثمتیکا، از دست رفته است و نخستین نسخه ی موجود آن بیش از یک هزار سال پس از نوشته شدن آن به رشته ی تحریر درآمده است.
در اینجا مثالی از یکی از نخستین نسخ دست نویس و سپس تعبیری از آن در شکل امروزی و توضیحی درباره ی زبان یونانی می آوریم:
در مثال داده شده در بالا از برخی حروف بزرگ و چند حرف کوچک استفاده شده است. در نوشته های بعدی تنها حروف کوچک مورد استفاده قرار گرفته است.
برای تشریح سبک تلخیصی برهمه گوپته، مثال زیر را با تعبیر آن با نمادهای امروزی ارائه می کنیم:
به سرعت متوحه می شویم که تساوی با نوشتن عضو سمت چپ معادله در بالای عضو سمت راست (در قالب اصطلاحات امروزی) بیان می شود. شکل مخفف ya به نشانه ی yavattavat، نخستین مجهول، ka به نشانه ی kalaka («سیاه»)، دومین مجهول؛ bha به نشانه ی bhavita، («حاصل ضرب»)؛ k(a) به نشانه ی karana، («گنگ» یا «ریشه») است. نقطه ای که روی عددی گذاشته می شود، به صورتی که در این جا روی 8 گذاشته شده است، اشاره به عددی منفی دارد، ru به نشانه ی rupa (عدد «خالص» یا «ساده») است؛ v(a) به نشانه ی varga («عدد مربع») است. مجهولات اضافی با استفاده از اختصاراتی به نشانه ی رنگ های دیگر بیان می شوند؛ مثلاً ni به نشانه ی nilaca(«آبی»)، pi به نشانه ی pitaca («زرد»)، pa به نشانه ی pandu(«سفید») و lo به نشانه ی lohita («سرخ»).
فهرست زیر از مثال ها تا حدودی حاکی از نحوه ی پیشرفت تدریجی نمادگذاری جبری از مرحله ی لفظی به علامتی است (نیز مثال هایی را که در مرور کلی در این فصل داده شده اند، ملاحظه کنید). برای کمک به خواننده برای این که برخی از اختصارات را از رمز درآورد، چند تذکر مقدماتی را در زیر می آوریم.
پیش از یک عدد خالص که معمولاً N، numeri، یا می آید. اختصارات برای x متعددند، از جمله pri به نشانه ی primo («نخست»)،
به نشانه ی numero («عدد»، «مجهول»)، p به نشانه ی res («شیء»، «مجهول»)، و N به نشانه ی numerus («عدد»، «مجهول»). مجذور (مجهول x) به چند صورت نوشته می شد، از جمله Se به نشانه ی secundo («دوم»). جمع و تفریق اغلب با به نشانه ی piu(«بیش تر») و به نشانه ی meno («کم تر») نشان داده می شوند.

پی نوشت ها :

1. kenneth cummins
2. koppa
3. vander Hoecke
4. Ghaligai

منبع: باومگارت، جان[و دیگران]؛ (1385)، تاریخ جبر، محمد قاسم وحیدی اصل، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست.